Парадокс дней рождения: почему в группе из 23 человек совпадение почти неизбежно

Многие думают: чтобы у двух человек совпал день рождения, нужна большая компания. Но математика Алексей Савватеев говорит обратное. В группе из 23 человек вероятность совпадения уже больше 50 %. В 40 человек — почти 90 %.

Это классический парадокс дней рождения. Интуиция подводит: кажется, что 365 дней — много, и совпадение маловероятно. Но мы считаем не «у кого-то конкретного», а «хотя бы у одной пары».

Как считать вероятность

Вероятность, что у двух людей разные дни рождения — 364/365. У трёх — первый любой день, второй не совпадает с первым (364/365), третий не совпадает ни с кем (363/365). И так далее.

Общая вероятность «все разные» = 1 × (364/365) × (363/365) × … × (365−n+1)/365, где n — число людей. Вероятность хотя бы одного совпадения = 1 минус эта величина.

Ключевые цифры

При 20 человеках вероятность «все разные» ≈ 1/2. При 23 — уже меньше 50 % (совпадение вероятнее). При 40 — около 89–90 % совпадений.

В группе из 42 школьников Савватеев поспорил на шоколадки, что совпадение будет. Проиграл — совпадений не было. Но это как раз редкий случай (вероятность ≈ 5–10 %). Интуиция обманывает, а точный расчёт показывает: уже при 23–25 человеках совпадение — норма.

Парадокс учит: в вероятностях часто ошибаемся. Закладывайтесь на математику, а не на ощущения.